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量子计算入门基础学习笔记(一)


大家好!在前面一个专栏(线性代数 or 量子力学)中,作为初学者,我和大家一起学习并向大家介绍了一些量子力学的入门知识(当然这个专栏还没有结束,有喜欢的小伙伴可以持续关注!),但是本人并不是物理专业的(其实我是一个程序狗 o(╥﹏╥)o )所以基于量子力学的一些基础,我们接下来的学习方向是 :以量子力学和计算机为基础的量子计算!在这里期盼大家的点赞和支持(大一新生真的不容易~~)

一. 背景介绍

20世纪微电子技术的迅速发展,大大提高了电子计算机集成电路的集成度,为现代信息化社会打下了物质基础。按照著名的“摩尔定律”,随着集成电路集成度的日益提高,电路板蚀刻精度也将越来越高,中央处理器芯片上集成的晶体管器件就会越来越密,这将迫使电路线宽不断狭窄,直至狭窄到不得不考虑运动在电路中的电子的波动性将在电路中产生新的物理现象–即量子效应时(当电路线宽小于0. 1微米),原有的物理规律会部分不适用

大家玩电脑的都会知道,现在的光刻技术,是十分发达的,在一个不到20 c m 2 cm^{2} cm2面积上的 C P U CPU CPU 上 表面布满的数以万计的印刷电路,但是这会受到每条线路之间距离的控制,所以无论你怎么精密,都是无法突破到人类目前已知最强大的芯片能力的下一个数量级,所以,我们现在像英特尔,英伟达公司生产的芯片都是分层的,就像人在古代住平房,现在人们住楼房的道理是一样的!例如12核48线程 之类的处理器,都只能说提升百分之多少,没有人说提升了几倍!但是我们的量子计算机就可以做到这一点,无线程的单一约束,可以并行处理,这直接将计算速度提升到下一个数量级!

什么是量子信息呢?

要知道量子信息 ,我们先考虑一下:什么是量子?我们天天说量子,量子到底什么

  • 量子最早出现在光量子理论中,是微观系统中能量的一个力学单位。现代物理将微观世界中所有的微观粒子(如光子、电子、原子等) 统称为量子

量子信息就是:

  • 利用微观粒子状态表示的信息称为量子信息。量子信息学是指以量子力学·基本原理为基础,通过量子系统的各种相干特性(如量子并行、量子纠缠和量子不可克隆等),研究信息存储、编码、计算和传输等行为的理论体系。

这里我们只是给大家一个感性的印象,不必深入理解,有时候,朦朦胧胧才是真,你看到的真不一定是真,你看到的假也不一定是假!

二 . 量子计算学习

(1)狄拉克符号,量子比特,希尔伯特空间

前面在以薛定谔的猫为例向大家介绍量子力学的时候,简单的了解过这个东东,下面,将系统详细的讲解这个符号及其意义:

我们把某个量子力学系统所处的状态称为量子态, 由 Hilbert 空间中的列单位向量描述(这是个不出存在的假想空间)。

  • 用一个符号来表示就是 ∣ φ ⟩ \left| \varphi \right \rangle φ,称为态矢,这个符号里面的箭头向右,又叫右矢,同样的,就会存在左矢 ⟨ φ ∣ \left \langle \varphi \right | φ, 因为线性代数是量子力学的表达语言,此二者用线性代数来表示为:左矢对应行向量,右矢对应右向量 a 1 , a 2 ⋯ a n a_{1},a_{2} \cdots a_{n} a1,a2an是复数)
    ∣ φ ⟩ = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] ⟨ φ ∣ = [ a 1 , a 2 ⋯ a n ] \left| \varphi \right \rangle=\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix}\qquad\left \langle \varphi \right |=\begin{bmatrix} a_{1} ,a_{2} & \cdots a_{n} \\ \end{bmatrix} φ=a1a2anφ=[a1,a2an]


所以啊 ,这个左右矢其实就是线代里面与转置类似的关系,他们描述的都是同一个东西,一般情况下 ,我们都是用右矢表示,当然它也满足向量的运算性质和规律,用到的时候再说!

除此之外,我们再来说一下态矢量的内积(其实和线代里面的一样):
内积:通常表示为: ⟨ α ∣ β ⟩ \left \langle \alpha | \beta \right \rangle αβ
⟨ α ∣ β ⟩ = ( ∣ α ⟩ , ∣ β ⟩ ) = ( ∑ i α i ∗ ⟨ α ∣ ) ( ∑ i b i ⟨ β i ∣ ) = ∑ i a i ∗ b i ⟨ α i ∣ β i ⟩ \left \langle \alpha | \beta \right \rangle = (\left| \alpha \right \rangle,\left| \beta \right \rangle ) =(\sum_{i} \alpha _{i}^{*}\left \langle \alpha \right |)(\sum_{i}b _{i}\left \langle \beta _{i} \right |) = \sum_{i} a_{i}^{*}b_{i}\left \langle \alpha_{i} | \beta_{i} \right \rangle αβ=(α,β)=(iαiα)(ibiβi)=iaibiαiβi
态矢量内积的性质与线代中向量基本一致:
在这里插入图片描述
能存在一个集合能满足加法和数乘,将其称为矢量空间,那么,如果还同时能满足内积呢? 此时我们将其称为内积空间,再进一步,如果完全内积的空间就叫希尔伯特空间




还记得我们在学线代的向量的时候,在这里转化为态矢量也是换汤不换药,态矢量的模,逆元,单位化,正交性,线性独立(线性无关)也是存在且符合原来的规律的,后面真正应用计算的时候就不用纠结了!

综上,我们大概又重新的回顾了一下我们之前简单介绍过的一些知识,现在回过头来想一想,量子信息是怎么运作的?也就是怎么让量子来储存或者传达信息呢?

我们学计算机的人都知道,经典的信息的基本储存单元叫比特,而量子信息的基本储存单元就是量子比特,在我们用电脑的时候,所有的数字和各种字体都被编码成二级制数字代码,在传给内存和 c p u cpu cpu 一个一个读取,怎么读取的呢?为啥可以读取?其实我们运用的是电流的特性,交流电转化为直流电后,以超高频率的电压交替来代替二进制中的0与1,从而快速计算!

对于量子信息而言,一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量,它的两个极化状态 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ \left| 0 \right \rangle,\left| 1 \right \rangle 0,1 对应经典状态的 0与1!之后我们就有回到了叠加态等知识 的学习,所以有很多人会疑惑为啥要将这个狄拉克符还有其他的一些看似无关的知识,这里请原谅我用了倒叙的手法,现在大家是不是感到恍然大悟呢在这里插入图片描述
这里说到比特,我爱吐槽的毛病就又犯了,以前我们都说家里或者哪哪的网速多少兆啊,比如说一个100兆的网速,你用测试软件去测是98 99 兆左右,但是你真正去下载某个东西或者上传啥文件的时候,最多也就10兆(其实10M都不到),这个是为啥呢,因为一个字节是8个比特,所以,最后其实你理论上的真正网速是在100/8=12.5兆 ,三大运营商就像保险公司一样和我们老百姓在玩文字游戏呢!
就本来已经感觉自己被骗了,还有像某度网盘,某讯,某云,某雷之类的公司垄断下载服务,你不充会员就不给你网速,可恨的某度网盘 将下载速度调到100kb以下,你能怎么办??冲了普通会员也只是恢复你本来的下载速度,想要快吗,得是超级会员( S v i p S vip Svip), 你气不气 (╹▽╹)?

(2)线性算符

在高中的时候,数学上我们就学过如何计算二维平面中一个向量在另一个向量上的投影(例如 v v v w w w方向上的映射!),那么态矢量的相关知识存在吗?必须的!!

在两个矢量空间 V 和 W中分别有 ∣ v ⟩ , ∣ w ⟩ \left | v \right \rangle, \left | w \right \rangle v,w,那么将 ∣ v ⟩ \left | v \right \rangle v映射到 ∣ w ⟩ \left | w \right \rangle w上 表示为:
∣ w ⟩ = A ∣ v ⟩ \left | w \right \rangle= A \left | v \right \rangle w=Av
这里的 A A A 称为算符,其本征本质就是一个矩阵,这个知识我们在上个专栏中也见过(动量算符)!

有关算符运算的性质:

  • 单位算符: I V ∣ v ⟩ ≡ ∣ v ⟩ I_{V}\left | v \right \rangle\equiv \left | v \right \rangle IVvv (单位算符是最简单的线性算符)
  • 零算符: 0 ∣ v ⟩ ≡ 0 0 \left | v \right \rangle\equiv0 0v0
  • 线性算符: A ( a ∣ v ⟩ + b ∣ w ⟩ ) = a ( A ∣ v ⟩ ) + b ( A ∣ v ⟩ ) A(a\left | v \right \rangle+b\left | w \right \rangle) = a(A\left | v \right \rangle)+b(A\left | v \right \rangle) A(av+bw)=a(Av)+b(Av) (对于任意的态矢量 ∣ v ⟩ , ∣ w ⟩ \left | v \right \rangle,\left | w \right \rangle v,w,满足该式称A为线性算符)
  • 算符相等: 对于任意 ∣ v ⟩ \left | v \right \rangle v 满足 A ∣ v ⟩ ≡ B ∣ v ⟩ A\left | v \right \rangle\equiv B\left | v \right \rangle AvBv ,则称A,B 两个算符是相等的!
  • 算符之和: C ∣ v ⟩ = ( A + B ) ∣ v ⟩ = A ∣ v ⟩ + B ∣ v ⟩ C\left | v \right \rangle=(A+B)\left | v \right \rangle=A\left | v \right \rangle+B\left | v \right \rangle Cv=(A+B)v=Av+Bv(对于线性算符的叠加 C = A + B C=A+B C=A+B也是线性的来说)
  • 算符之积: D ∣ v ⟩ = ( A B ) ∣ v ⟩ ≡ A ( B ∣ v ⟩ ) D\left | v \right \rangle =(AB)\left | v \right \rangle\equiv A(B\left | v \right \rangle) Dv=(AB)vA(Bv)

了解完一些算符的性质之后,为了让大家更加深刻的理解算符,我们来推导一下算符到底是啥?
假设算符 A A A,作用于态矢量 ∣ α ⟩ \left | \alpha \right \rangle α,得到 ∣ β ⟩ \left | \beta \right \rangle β, 二者分别在正交归一基 { ∣ v 1 ⟩ , ∣ v 2 ⟩ ⋯ ∣ v n ⟩ } \left \{ \left | v_{1} \right \rangle ,\left | v_{2} \right \rangle \cdots \left | v_{n} \right \rangle \right \} {v1,v2vn}上展开,得:

∣ β ⟩ = ∑ i b i ∣ v i ⟩ , ∣ α ⟩ = ∑ i a i ∣ v i ⟩ \left | \beta \right \rangle =\sum_{i}b_{i}\left | v_{i} \right \rangle,\qquad\left | \alpha \right \rangle =\sum_{i}a_{i}\left | v_{i} \right \rangle β=ibivi,α=iaivi
则有:
b i = ⟨ v i ∣ β ⟩ = ⟨ v i ∣ A α ⟩ = ∑ j ⟨ v i ∣ A v j ⟩ a j = ∑ j A i j a j b_{i} = \left \langle v_{i}|\beta \right \rangle = \left \langle v_{i}|A\alpha \right \rangle = \sum_{j}\left \langle v_{i}|Av_{j} \right \rangle a_{j} = \sum_{j}A_{ij}a_{j} bi=viβ=viAα=jviAvjaj=jAijaj
所以我们得到:
A i j = ⟨ v i ∣ A v j ⟩ A_{ij} = \left \langle v_{i}| Av_{j}\right \rangle Aij=viAvj
通过这个式子我们可以清晰的看出算符用线代里来解释就是一个方阵: 为了让大家更直接的理解,再来看这个:
刚才算出: b i = ∑ j A i j a j ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) b_{i} = \sum_{j}A_{ij}a_{j} (i=1,2, \cdots,n) bi=jAijaj(i=1,2,,n),再展开: [ b 1 b 2 ⋮ b n ] = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 1 ⋯ A n n ] [ a 1 a 2 ⋮ a n ] \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} &\cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} &\cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ A_{n1} &A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix} b1b2bn=A11A21An1A12A22An1A1nA2nAnna1a2an





到这里,我们就初步的在我们原来定性的基础上进行了一些定量的运算,后面的博客中,还会讲到其他的重要算符,像幺正算符,厄米算符等等!

好 本次的博客学习到这里就结束了!下周开始除了算符的继续深入,我们开始张量的简单应用和纠缠相关的学习。热爱量子或是计算机的同学们可以点点关注,本人是每周一更,有错误的地方在评论区留言!


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